爱因斯坦质能方程 E=mc²:从两条公设到质能等价

想象力比知识更重要。

—— 阿尔伯特·爱因斯坦

1905 年,26 岁的爱因斯坦在《论动体的电动力学》中建立了狭义相对论,随后在一篇不足三页的短文里给出了 $E=mc^2$ 。这个等式把质量与能量这两个经典物理中互不相干的概念统一起来:质量的任何微小变化,都对应着巨大能量的释放。

为了便于对照,后文用到的物理常数集中列出:

关于推导细节,可参考质能等价词条。

一、两条基本假设

狭义相对论只依赖两个假设:

它们会推出一个反直觉的结论:同时性是相对的。一个参考系中同时发生的两件事,在另一个运动的参考系中未必同时;运动的钟变慢、运动的尺缩短。

1905 年爱因斯坦同期发表的几篇论文,按时间顺序是:

描述运动物体与静止观察者之间差异的核心量是洛伦兹因子:

\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}

运动时钟变慢、运动尺子缩短的倍数都由它决定。当速度趋近光速时 $\gamma$ 迅速增大;把 $x=v/c$ 作为横轴,就能直观看到这条曲线:

以 $0.98c$ 运动的粒子, $\gamma\approx 5$ ,其总能量会是静止时的约 5 倍——这正是质能方程中"能量随速度增长"的直接体现。

推导的路线可以画成一张流程图:

在相对论中,能量与动量组成一个四维矢量 $(E/c,\ \vec p)$ ,它的"长度"在参考系变换下保持不变,恒等于静质量:

E^2 - (pc)^2 = (m c^2)^2

取 $p=0$ (静止物体),就得到:

E = mc^2

对低速运动物体做级数展开,经典物理中的动能作为近似自动出现:

E = \gamma m c^2 = m c^2\left(1 + \frac{v^2}{2c^2} + \frac{3v^4}{8c^4} + \cdots\right) \approx mc^2 + \frac{1}{2}mv^2

把 $E^2-(pc)^2=(mc^2)^2$ 归一化到 $m=1$ ,能量与动量落在一条双曲线上——无论怎样给物体加速,能量-动量矢量的"长度"始终等于静质量:

质量为 0 的光子没有静质量,它的全部能量都来自动量:

E = h\nu = pc,\qquad p = \frac{h}{\lambda}

1905 年,爱因斯坦用"光由一个个能量为 $h\nu$ 的光量子组成"解释光电效应:金属中的电子吸收一个光子后,若光子能量超过逸出功 $W_0$ ,电子便逸出,动能满足 $E_k = h\nu - W_0$ :

质能方程最直接的应用是核物理。原子核的结合能来自质量亏损:反应前后总质量的差 $\Delta m$ 乘以 $c^2$ ,就是释放的能量。

# 1 克质量蕴含的能量
m = 1e-3            # kg
c = 2.99792458e8    # 真空光速 m/s
E = m * c**2
print(f"E = {E:.3e} J")   # E = 8.988e+13 J

同样的计算用 Rust 实现:

fn main() {
    let m: f64 = 1e-3;            // 1 克
    let c: f64 = 2.997_924_58e8;  // 真空光速 m/s
    println!("E = {:.3e} J", m * c * c);
}

人类把"质量转化为能量"变成现实的关键节点:

广义相对论把引力解释为时空的弯曲:质量与能量决定时空如何弯曲,弯曲的时空反过来决定物质如何运动。下面用 3D 曲面示意"质量压弯时空"(可拖拽旋转视角):

爱因斯坦场方程把几何与物质联系到一起:

R_{\mu\nu} - \frac{1}{2} R\, g_{\mu\nu} + \Lambda g_{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{c^4} T_{\mu\nu}

方程中的 $\Lambda$ 称为宇宙学常数。现代宇宙学发现,宇宙的能量构成中占比最大的并非普通物质:

恒星靠核聚变把质量转化为辐射,与引力坍缩相抗衡;质量决定了恒星的最终归宿:

用一张思维导图回顾爱因斯坦在 1905 年的贡献:

四篇论文、四个方向,其中任何一篇都足以让这位 26 岁的年轻人名留青史。